Amor Mašović rođen je u Sarajevu, gdje je završio osnovnu i srednju školu, kao i Pravni fakultet. Karijeru je počeo kao pripravnik, a kasnije i pravnik u porodičnoj firmi, gdje je radio do početka rata.
Početkom rata počinje raditi u Komisiji za razmjenu ratnih zarobljenika, koja je poslije transformisana u Državnu komisiju za traženje nestalih osoba. Član Kolegija Instituta za nestale osobe bio je do septembra 2021. godine.
Član je Stranke demokratske akcije (SDA) i od 1998. godine bio je predstavnik u mnogim zakonodavnim tijelima. Bio je član Predstavničkog doma Parlamenta FBiH od 2014. do 2018. godine.